Se aplican únicamente a variables cuantitativas.

RESUMEN NUMÉRICO DE UNA SERIE ESTADÍSTICA.

Hay tres grandes tipos de medidas estadísticas:

- Medidas de posición: dan idea de la magnitud, tamaño o posición de las observaciones de los datos una vez que están ordenados de menor a mayor.

- Medidas de tendencia central: dan idea del comportamiento central de los sujetos.

- Medidas de dispersión o variabilidad: dan información acerca de la heterogeneidad de los sujetos, es decir, si son muy diferentes entre sí o no.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Ejemplo:

Peso en Kg	f_{i(Frecuencia absoluta)}	EF_{i(frecuencia absoluta acumulada)}	h_{i(frecuencia relativa)}	H_{i (frecuencia relativa acumulada)}
[3.3-3.8] Mc= 3.5	3	3	0.075 o 7,5%	0.075 o 7,5 %
(3.8-4.3] Mc=4.0	8	11	0.2 o 20%	0.275 o 27,5 %
(4,3-4.8] Mc=4.5	14	25	0.35 o 35%	0.625 o 62,5%
(4.8-5.3] Mc=5.0	6	31	0.15 o 15%	0.775 o 77.5%
(5.3-5.8] Mc=5.5	4	35	0.1 o 10%	0.875 o 87,5 %
(5.8-6.3] Mc=6.0	5 40	40	0.125 o 12,5% 100%	1 o 100%

Para la media se sumarian todos los pesos y se divide entre 40 pero con esta tabla se haría una media aritmética ponderada, para ello se utilizaría las marcas de clases.

X= marca de clase x frecuencia + marca de clase x frecuencia… / total= 3,5 +3 +4+8../40= 4,68

· Mediana: medida de posición y central

Es el valor de la observación tal que deja a un 50% de los datos menor y otro 50% de los datos mayor.

- Si el número de observaciones es impar el valor de la observación será justamente la observación que ocupa la posición (n+1/2) Ejemplo: si son 75, pues 76 entre 2 = 38, la mediana seria la edad que tiene el sujeto 38.

- Si el número de observaciones es par, el valor de la mediana corresponde a la media entre los dos valores centrales, es decir, la media entre la observación n/2 y la observación (n/2)+1. Ejemplo: cuatro sujetos de edades, 10, 15, 20, 25, cogemos los dos sujetos centrales y hacemos la media aritmética entre ambos.

· Propiedad: robustez. Sólo tiene en cuenta la posición de los valores en la muestra y por tanto tiene mucho mejor comportamiento que la media cuando hay observaciones extremas.

· Moda: Es el valor con mayor frecuencia (que más veces se repite). Si hay más de una se dice que la muestra es bimodal (dos modas) o multimodal (más de dos modas). Se puede calcular para cualquier tipo de variable tanto la cualitativa como la cuantitativa. La moda no es el número más frecuente si no la categoría.

MEDIDAS DE POSICIÓN O CUANTILES

Se calculan para variables cuantitativas y, al igual que la mediana, sólo tienen en cuenta la posición ordenado de mayor o menor de los valores en la muestra.

Los cuantiles más usuales son los percentiles, los deciles y los cuartiles.

- Percentiles:

o Dividen la muestra ordenada en 100 partes.

o El percentil “i” (P_i), es aquél valor que, ordenadas las observaciones en forma creciente, el i% de ellas son menores que él y el (100-i)% restante son mayores.

o Para buscar la posición de un percentil en una serie de datos agrupados, buscamos el intervalo en el que la frecuencia relativa acumulada (H_i) sea superior al valor del percentil.

o El valor del P₅₀ corresponde al valor de la mediana.

- Deciles:

o Dividen la muestra ordenada en 10 partes.

o El decil “i” (D_i), es aquél valor que, ordenadas las observaciones en forma creciente, el i/10% de ellas son menores que él y el (100-i)/10% restante son mayores.

o El valor del D₅ corresponde al valor de la mediana y, por tanto, al del P₅₀.

- Cuartil:

o Dividen la muestra ordenada en 4 partes.

o El Q₁, primer cuartil indica el valor que ocupa una posición en la serie numérica de forma que el 25% de las observaciones son menores y que el 75% son mayores.

o El Q₂, segundo cuartil indica el valor que ocupa una posición en la serie numérica de forma que el 50% de las observaciones son menores y que el 50% son mayores. Por tanto, el Q₂ coincide con el valor del D₅, con el valor de la mediana P₅₀.

o El Q₃, tercer cuartil indica el valor que ocupa una posición en la serie numérica de forma que el 75% de las observaciones son menores y que el 25% son mayores.

o El Q₄, cuarto cuartil indica el valor mayor que se alcanza en la serie numérica.

Ejercicio de clase:

PESOS EN KG. DE NIÑOS ATENDIDOS EN LA CONSULTA DE NIÑO SANO n = 40

3,3	3,3	3,7	3,9	3,9	3,9	4,0	4,1	4,2	4,2
4,3	4,3	4,3	4,3	4,4	4,4	4,5	4,5	4,5	4,5
4,7	4,7	4,7	4,7	4,8	4,8	4,9	5,0	5,0	5,1
5,1	5,3	5,3	5,4	5,6	5,8	5,8	6,0	6,1	6,1

- x= 4,685

- Mo=4´3, 4´5, 4´7. Multimodal.

- Me= 4,5+4,7/2=4,6. (Cuento el número 20 y lo sumo con el siguiente).

Cuartiles:

- Q₁= 4,2

- Q₂=4,6 (el valor de la mediana), aunque si digo que es 4,5 también está bien).

- Q₃=5,1

- Q₄=6,1

Deciles:

D₁=3,9 D₂=4,2 D₃=4,3

Peso en Kg	Fi	Fi	hi	Hi
[3,25-3,75) Mc=3,5	3	3	0,075	0,075
[3,75- 4,25) Mc=4,0	8	11	0,2	0,275
[4,25- 4,75) Mc=4,5	14	25	0,35	0,625
[4,75-5,25) Mc=5,0	6	31	0,15	0,775
[5,25-5,75) Mc=5,5	4	35	0,1	0,875
[5,75-6,25) Mc=6,0	5	40	0,125	1
N=40

En este caso usaríamos las Mc para calcular las medidas de tendencia central (porque sabemos que hay tres niños en el primer intervalo pero no sabemos cuánto pesa exactamente cada niño).

M_e= [4,25-4,75)

M_o= [4,25-4,75)

hi/a = Se hace para cuando no todos tienen la misma amplitud.

a=amplitud = 0,5 (3,75-4,25): Se haría en todos.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

La información aportada por las medidas de tendencia central es limitada.

· Rango o recorrido: Diferencia entre el mayor y el menor valor de la muestra lX_n-X₁l (valor absoluto).

· Desviación media: Media aritmética de las distancias de cada observación con respecto a la media de la muestra.

Para datos agrupados y según el ejemplo anterior;

· Desviación típica o estándar: Cuantifica el error que cometemos si representamos una muestra únicamente por su media. Esta es la que más se emplea debido a que esta nos da un mayor rango de error.

· Varianza: Expresa la misma información en valores cuadráticos:

· Recorrido intercuartílico: Diferencia entre el tercer y el primer cuartil = lQ₃-Q₁l

· Coeficiente de variación: Es una medida de dispersión relativa (adimensional) ya que todas las demás se expresan en la unidad de medida de la variable. Nos sirve para comparar la heterogeneidad de dos series numéricas con independencia de las unidades de medidas. Se expresa sin unidades.

- c.v.=s/x

El C.V. siempre va de 0 a 1.

Ejemplo

Peso en Kg	Fi	Fi	Hi	Hi
[3,25-3,75) Mc=3,5	3	3	0,075	0,075
[3,75- 4,25) Mc=4,0	8	11	0,2	0,275
[4,25- 4,75) Mc=4,5	14	25	0,35	0,625
[4,75-5,25) Mc=5,0	6	31	0,15	0,775
[5,25-5,75) Mc=5,5	4	35	0,1	0,875
[5,75-6,25) Mc=6,0	5	40	0,125	1
N=40

PRACTICA:

Ejercicios:

1. Unas enfermeras han registrado en el punto de vacunación las edades de nueve niños que han sido vacunados durante una sesión, obteniéndose los siguientes datos:

3,2,4,2,1,3,5,3 y 4 meses.

Calcular:

2. En una unidad de medicina preventiva se han realizado controles de salud a 70 trabajadores del hospital, registrándose la siguiente distribución de pesos.

Kg	Nº Empleados
[50-60 kg)	8
[60-70 kg)	15
[70-80 kg)	21
[80-90 kg)	18
[90-100 kg)	7
[100-110 kg)	1

Completa la tabla de frecuencias añadiendo las frecuencias relativas, frecuencias acumuladas y marcas de clase. Elabora además una representación gráfica adecuada a los datos registrados y calcula las siguientes medidas.

a. Media aritmética.

b. Desviación típica.

c. Coeficiente de variación.

Peso en Kg	Fi	Fi	Hi	Hi
[50-60) Mc=55	8	8	0,114	0,114
[60-70) Mc=65	15	23	0,21	0,324
[70-80) Mc=75	21	44	0,3	0,62
[80-90) Mc=85	18	62	0,26	0,88
[90-100) Mc=95	7	69	0,1	0,98
[100-110) Mc=105	1	70	0,02	1
N=40

3. En un centro de salud se pretende realizar un estudio sobre las cifras de tensión arterial diastólica en un grupo de 30 pacientes que acuden a consulta de enfermería en los programa de atención al paciente diabético. Los enfermeros del programa midieron la TAD de estos 30 pacientes, obteniendo las siguientes cifras (datos en mm de Hg)

45 45 45 60 60 60

65 71 74 78 80 80

80 85 85 87 87 87

87 87 87 95 95 95

95 100 100 106 109 120

a) Construye una tabla de frecuencia.

TAD	Fi	Fi	Hi	Hi
[45-60) Mc=52.5	3	3	0,1	0,1
[60- 75) Mc=67,5	6	9	0,2	0,3
[75-90) Mc=82,5	12	21	0,4	0,7
[90-105) Mc=97,5	6	27	0,2	0,9
[105-120) Mc=112,5	3	30	0,1	1
N=30

Recorrido: 120- 45= 75

Intervalo: √30 =5.47 = 5 intervalos.

Amplitud: 75/5= 15

Histograma:

d)

Coeficiente de variación

Cv= s/x= 16,71/ 82,5= 0,20

- El primer cuartil está en el segundo.

- El tercer cuartil está en el cuarto

DISTRIBUCIONES NORMALES

En estadística se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales. Es Distribución de probabilidad más frecuente con variables continuas.

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de los valores posición central (media, mediana y moda, que coinciden en estas distribuciones). Es simetrica dejando la mitad de los valores por debajo del punto maximo y la mitad de los valores por encima.

Esta curva se conoce como campana de Gauss.

Una distribución normal sigue estos principios básicos: si al valor de la media le restamos y le sumamos una desviación típica, si la serie numérica siguiera una distribución normal (como el colesterol). Dice que el 68.25% de las observaciones se va a sumar entre los valores de la suma y la resta de la media a una desviación típica. Estas datos varían si sumamos una, dos o tres desviaciones típicas.

- S 68,26% de las observaciones.

- 2xS95,45% de las observaciones.

- 3xS 99,73% de las observaciones.

ASIMETRÍAS Y CURTOSI

La asimetría es al lado contrario al que vemos el pico (la moda), es decir si vemos el pico hacia la derecha la asimetría es a la izquierda, y si la moda esta a la izquierda la asimetría esta hacia la derecha.

· Coeficiente de asimetría de una variable: Grado de asimetría de la distribución de sus datos en torno a su media, cuanto más asimétrica sea, valores más diferentes encontraremos.

· Asimetrías:

Los resultados pueden ser los siguientes:

- g1=0 (distribución simétrica; existe la misma concentración de valores a la derecha y a la izquierda de la media).

- g1>0 (distribución asimétrica positiva; existe mayor concentración de valores a la derecha de la media que a su izquierda).

- g1<0 (distribución asimétrica negativa; existe mayor concentración de valores a la izquierda de la media que a su derecha).

· Curtosis o apuntamiento de la curva.

Sirve para medir el grado de concentración de los valores que toma en torno a su media. Los datos se acumulan mucho, mientras más se acumulen, mas apuntada esta la curva.

Se elige como referencia una variable con distribución normal, de modo que para ella el coeficiente de curtosis es 0.